a) Xét ΔAND và ΔCNB có 

NA=NC(N là trung điểm của AC)

\(\widehat{AND}=\widehat{CNB}\)(hai góc đối đỉnh)

ND=NB(N là trung điểm của BD)

Do đó: ΔAND=ΔCNB(c-g-c)

b) Ta có: ΔAND=ΔCNB(cmt)

nên AD=BC(hai cạnh tương ứng)

Ta có: ΔAND=ΔCNB(cmt)

nên \(\widehat{ADN}=\widehat{CBN}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{ADN}\) và \(\widehat{CBN}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên AD//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

a: Xét ΔAND và ΔCNB có 

NA=NC

\(\widehat{AND}=\widehat{CNB}\)

ND=NB

Do đó: ΔAND=ΔCNB

b: Xét tứ giác ABCD có 

N là trung điểm của AC

N là trung điểm của BD

Do đó: ABCD là hình bình hành

Suy ra: AD//BC và AD=BC

c: Xét tứ giác AEBC có 

M là trung điểm của AB

M là trung điểm của EC

Do đó: AEBC là hình bình hành

SUy ra: AE//BC và AE=BC

mà AD//BC

và AD,AE có điểm chung là A

nên D,A,E thẳng hàng

mà AE=AD

nên A là trung điểm của ED

a) Để chứng minh tam giác AND=tam giác CNB

Ta có: Xét tam giác AND và tam giác CNB

Có: AN=CN

^AND=^BNC

Vậy hai tam giác bằng nhau.

đpcm.

b) Khi tam giác AND=tam giác CNB

=>AD=BC(hai cạnh tương ứng)

Và^D=^B ( hai góc tương ứng)

Mà hai góc vị trí so le

Nên: \(\frac{AD}{BC}\)

đpcm.

c) Xét hai tam giác EMA và CMB

CM=EM

=> ^EMA=^BMC

=>hai tam giác bằng nhau

=>EA=CB (hai cạnh tương ứng)

Mà AD=CBvà EA = CB

=> AD=EA

=> A là trung điểm ED

đpcm.

a/ Xét tam giác AND và tam giác CNB ta có

\(\widehat{AND}=\widehat{CNB}\)(đối đỉnh)

AN = CN (N là trung điểm của AC )

ND = NB (N là trung điểm của BD)

\(\Rightarrow\)tam giác AND = tam giác CNB (c.g.c)

b/ Ta có tam giác AND=tam giác CNB (câu a)

=> AD=BC (2 cạnh tương ứng)

và \(\widehat{ADN}=\widehat{NBC}\)(2 góc tương ứng)

=> AD // BC ( vì có 2 góc so le trong bằng nhau)

c/ từ từ mk lm bận r

a) xét tam giác AND và tam giác CNB, có

NA=NC( N là trung điểm của AC)

 góc AND = g CNB

NB = ND (N là trung điểm của db)

Nên tg AND=tgCNB

b)- ta có góc ADN=GÓC NCB (TAM GIÁC AND=tam giác CNB)

Mà góc AND và góc NCB ở vị trí slt

suy ra AD//BC

- Lại có AD=BC (tg ADN = tg CBN)

Bài 1 :

a) Ta có : \(\hept{\begin{cases}AM=MB\\AN=NC\end{cases}\Rightarrow}\)MN là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow MN\text{//}BC\) hay \(MN\text{//}HK\left(1\right)\)

Dễ thấy MNKB là hình bình hành => \(\widehat{MNK}=\widehat{ABC}=\widehat{MHB}\)(Vì tam giác AHB vuông có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.) . Mặt khác : \(\widehat{MNK}=\widehat{CKN}\)(hai góc ở vị trí so le trong)

=> \(\widehat{MHB}=\widehat{CKN}\). Mà hai góc này lần lượt bù với \(\widehat{MHK}\)và \(\widehat{HKN}\)=> \(\widehat{MHK}=\widehat{HKN}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNKH là hình thang cân.

b) Dễ thấy HK là đường trung bình tam giác AED => HK // ED hay BC // ED (3) 

Tương tự , MH và NK lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ABE và ACD

=> BE = 2MH ; CD = 2NK mà MH = NK (MNKH là hình thang cân - câu a)

=> BE = CD (4)

Từ  (3) và (4) suy ra BCDE là hình thang cân.

Bài 2 :

a) Ta có : \(\widehat{BAD}=\widehat{CAE}=90^o\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{DAE}=\widehat{CAE}+\widehat{DAE}\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\)

Xét tam giác BAE và tam giác CAD có : \(AB=AD\left(gt\right)\); \(AC=AE\left(gt\right)\) ; \(\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta CAD\left(c.g.c\right)\Rightarrow CD=BE\)

b) Dễ dàng chứng minh được MP và PN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ACD và tam giác BEC 

=> MP = 1/2CD ; PN = 1/2 BE mà CD = BE => MP = PN => tam giác MNP cân tại P

Để chứng minh góc MPN = 90 độ , hãy chứng minh BE vuông góc với CD.

b: Xét tứ giác ABCD có 

N là trung điểm của AC

N là trung điểm của BD

Do đó: ABCD là hình bình hành

Suy ra: AD=BC và AD//BC